量子力学 一 基础2 作用量、普朗克常量与物质波
最新推荐文章于 2024-07-14 14:26:36 发布
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#量子力学
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本文介绍了Planck常数及其在量子力学中的应用，包括Einstein-Planck公式，揭示了波粒二象性。接着讨论了物质波的概念，由de Broglie提出，通过波动形式展示物质的波动特性，并介绍了Klein-Gordon方程在π介子理论中的应用。
量子力学 一 基础2 作用量、普朗克常量与物质波
Planck常数
物质波
Planck常数
1900年，Planck发现了Planck常量 h = 6.6 × 1 0 − 34 J ⋅ s h=6.6\times 10^{-34}J \cdot s h=6.6×10−34J⋅s，这是近代物理中举足轻重的一个常量，它的单位 J ⋅ s J \cdot s J⋅s是作用量(action)的单位，另一个常用的Planck常量的形式是 ℏ = h / 2 π \hbar=h/2\pi ℏ=h/2π（约化Planck常量）。这个常量被Planck用在Planck公式（电磁波的能量）中： E = h ν = ℏ w E = h\nu= \hbar w E=hν=ℏw
E E E是能量， ν \nu ν是频率(frequency)， w w w是角频率(angular frequency)或幅角频率， w = 2 π ν w=2 \pi \nu w=2πν；因为动量的大小是 E / c E/c E/c（电磁波的动量），于是 P = E c P ∣ P ∣ = ℏ w c P ∣ P ∣ = ℏ k \textbf P = \frac{E}{c} \frac{\textbf P}{|\textbf P|} = \frac{\hbar w}{c}\frac{\textbf P}{|\textbf P|} = \hbar \textbf k P=cE∣P∣P=cℏw∣P∣P=ℏk
这个公式被称为Einstein-Planck公式，其中 k \textbf k k被称为波数向量(wave vector or wave number vector)，它的大小是 ∣ k ∣ = w c = 2 π ν c = 2 π λ |\textbf k| = \frac{w}{c} = \frac{2 \pi\nu}{ c} = \frac{2\pi}{\lambda} ∣k∣=cw=c2πν=λ2π
这里 λ \lambda λ表示波长，波数的含义是在一个单位幅角长度即 2 π 2\pi 2π范围内出现的全波的数目。这两个公式虽然形式上非常简单但物理意义非常丰富，波长、角频率、波数等描述光的波动性；动量、能量描述波的粒子性，在这两个公式中，联系波与粒子之间唯一桥梁就是Planck常量。1915年Millikan的光电效应实验与1923年的Compton散射实验等著名物理实验论证了光的粒子性。
物质波
1922到1923年间，de Broglie提出了物质波的概念，并推导出了物质波的角频率 w 0 = m 0 c 2 ℏ w_0 = \frac{m_0c^2}{\hbar} w0=ℏm0c2
他认为静止质量形成的物质波是一种驻波，并写出了波动形式 e − i w 0 τ e^{-iw_0\tau} e−iw0τ， τ \tau τ固有时间(proper time)，也就是在相对论中与这个静止质量在同处的时钟所测量的唯一时间。如果观察者相对静止质量的速度为 v v v（假设沿 x x x方向），用 t t t表示观察者同处的时钟所测得的时间，则用Lorentz变换 τ = t − v c 2 x 1 − v 2 c 2 \tau = \frac{t - \frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} τ=1−c2v2
t−c2vx
代入到物质波的波动形式中 e − i w 0 τ = e − i [ m 0 c 2 ( t − v 2 c x ) ℏ 1 − v 2 c 2 ] = e − i ℏ ( E t − P x x ) e^{-iw_0\tau} = e^{-i \left[ \frac{m_0c^2(t-\frac{v^2}{c}x)}{\hbar \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right]} = e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-P_xx)} e−iw0τ=e−i[ℏ1−c